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Jul 10, 2024

La nueva forma matemática de 'Einstein' crea un nunca

Una nueva forma llamada Einstein ha conquistado el mundo de las matemáticas. El mosaico escarpado con forma de sombrero puede cubrir un plano infinito con patrones que nunca se repiten. Colocar mosaicos creativos en el piso del baño no es sólo

Una nueva forma llamada Einstein ha conquistado el mundo de las matemáticas. El mosaico escarpado con forma de sombrero puede cubrir un plano infinito con patrones que nunca se repiten.

Colocar mosaicos creativos en el piso del baño no es solo una tarea estresante para los renovadores de viviendas que hacen bricolaje. También es uno de los problemas más difíciles de matemáticas. Los expertos llevan siglos estudiando las propiedades especiales de las formas de las baldosas, que pueden cubrir suelos, salpicaderos de cocinas o planos infinitamente grandes sin dejar huecos. Específicamente, los matemáticos están interesados ​​en formas de mosaicos que puedan cubrir todo el plano sin crear nunca un diseño repetido. En estos casos especiales, llamados mosaicos aperiódicos, no hay ningún patrón que pueda copiar y pegar para mantener el mosaico. No importa cómo cortes el mosaico, cada sección será única.

Hasta ahora, los mosaicos aperiódicos siempre requerían al menos dos mosaicos de diferentes formas. Muchos matemáticos ya habían perdido la esperanza de encontrar una solución con una losa, llamada la esquiva losa "einstein", que recibe su nombre de las palabras alemanas para "una piedra".

Luego, en noviembre pasado, el ingeniero jubilado de sistemas de impresión David Smith de Yorkshire, Inglaterra, logró un gran avance. Descubrió una forma escarpada de 13 lados que creía que podría ser una teja de Einstein. Cuando se lo contó a Craig Kaplan, científico informático de la Universidad de Waterloo en Ontario, Kaplan rápidamente reconoció el potencial de la forma. Junto con el desarrollador de software Joseph Samuel Myers y el matemático Chaim Goodman-Strauss de la Universidad de Arkansas, Kaplan demostró que la singular loseta de Smith realmente pavimenta el plano sin espacios y sin repeticiones. Aún mejor, descubrieron que Smith había descubierto no sólo una, sino un número infinito de fichas de Einstein. El equipo informó recientemente sus resultados en un artículo publicado en el servidor de preimpresión arXiv.org y que aún no ha sido revisado por pares.

Cualquiera que haya caminado por los impresionantes pasillos de mosaicos del palacio Alhambra en Granada, España, conoce el arte que implica revestir un avión. Pero tal belleza alberga preguntas sin respuesta, que son, como afirmó el matemático Robert Berger en 1966, demostrablemente indemostrables.

Supongamos que desea revestir una superficie infinita con un número infinito de mosaicos cuadrados. Sin embargo, debes seguir una regla: los bordes de las fichas están coloreados y solo los bordes del mismo color pueden tocarse.

Con infinitas fichas, comienzas a colocar piezas. Encuentras una estrategia que crees que va a funcionar, pero en algún momento te topas con un callejón sin salida. Hay un espacio que simplemente no puedes llenar con los mosaicos que tienes disponibles y te ves obligado a colocar bordes que no coinciden uno al lado del otro. Juego terminado.

Pero ciertamente, si tuvieras el mosaico correcto con la combinación de colores correcta, podrías haber salido del apuro. Por ejemplo, tal vez necesites solo un mosaico en el que todos los bordes sean del mismo color. Un matemático miraría tu juego y preguntaría: “¿Puedes determinar si llegarás a un callejón sin salida simplemente mirando los tipos de fichas de colores que te dieron al principio? Sin duda, esto le ahorrará mucho tiempo”.

Berger descubrió que la respuesta es no. Siempre habrá casos en los que no podrás predecir si podrás cubrir la superficie sin espacios. El culpable: la naturaleza impredecible y no repetitiva de los mosaicos aperiódicos. En su trabajo, Berger encontró un conjunto increíblemente grande de 20.426 baldosas de diferentes colores que pueden pavimentar un plano sin que el patrón de color se repita jamás. Y aún mejor, es físicamente imposible formar un patrón repetido con ese conjunto de mosaicos, sin importar cómo los coloques.

Este descubrimiento planteó otra pregunta que ha perseguido a los matemáticos desde entonces: ¿Cuál es el número mínimo de formas de mosaicos que juntas pueden crear una teselación aperiódica?

En las décadas siguientes, los matemáticos encontraron conjuntos de mosaicos cada vez más pequeños que podían crear mosaicos aperiódicos. Primero, Berger encontró uno con 104 fichas diferentes. Luego, en 1968, el informático Donald Knuth encontró un ejemplo con 92. Tres años más tarde, el matemático Raphael Robinson encontró una variante con sólo seis tipos de mosaicos y, finalmente, en 1974, el físico Roger Penrose presentó una solución con solo dos mosaicos.

Luego el progreso se estancó. Desde entonces, muchos matemáticos han buscado la solución de una sola ficha, el “einstein”, pero ninguno lo había logrado, incluido Penrose, quien finalmente centró su atención en otros acertijos. Pero David Smith, el jubilado de 64 años, no se había rendido. Le gustaba jugar con PolyForm Puzzle Solver, un software que permite a los usuarios diseñar y ensamblar mosaicos, según el New York Times. Si una forma parecía prometedora, Smith recortaba varias piezas de un rompecabezas de papel para experimentar con ellas. Luego, en noviembre de 2022, se encontró con el ahora famoso mosaico al que llamó “sombrero” por su forma de sombrero de copa, aunque Kaplan enfatiza que muchos piensan que se parece más a una camiseta.

Cuando Kaplan recibió un correo electrónico de Smith con el “sombrero”, rápidamente despertó su interés. Con la ayuda del software, alineó más y más mosaicos con forma de sombrero, y parecía como si realmente pudieran cubrir el plano sin formar un patrón repetitivo.

Pero ese patrón repetitivo aún podría revelarse si seguía colocando mosaicos; tal vez una parte redundante sólo aparecería una vez que el avión tuviera varios años luz de largo. Los investigadores necesitaban demostrar matemáticamente que el mosaico era aperiódico. Kaplan recurrió a Myers y Goodman-Strauss, quienes habían trabajado extensamente con mosaicos en el pasado.

Al principio, se sorprendieron por la simplicidad de la posible loseta de Einstein porque el “sombrero” tiene una forma bastante simple de 13 lados. Si antes le hubieran preguntado a Goodman-Strauss cómo sería una esquiva ficha de Einstein, “habría dibujado algo loco, ondulado y desagradable”, dijo a Science News. Y cuando los matemáticos observaron más de cerca la forma, se dieron cuenta de que podían jugar con las longitudes de los lados y aún así crear un mosaico aperiódico y sin costuras. Esta forma había abierto la puerta a un número infinito de mosaicos de Einstein.

Los matemáticos necesitaban pruebas contundentes para respaldar sus afirmaciones. En primer lugar, utilizaron métodos en los que los expertos han confiado durante décadas para demostrar que ciertos tipos de mosaicos pueden crear mosaicos aperiódicos. Pero Myers también fue más allá de estos viejos métodos para crear una forma completamente nueva de demostrarlo, que también puede ser útil para otras cosas.

El método probado y verdadero se explica mejor utilizando el conjunto de seis fichas de Robinson de 1971. Las líneas naranja y verde dibujadas en las fichas de Robinson funcionan como los bordes coloreados en el ejemplo anterior de cuadrados infinitos. Aquí las reglas son igualmente simples: dos fichas de Robinson sólo se pueden colocar una al lado de la otra si las líneas verde y naranja continúan suavemente.

Siguiendo esta regla se obtiene un patrón reconocible que consta de cuadrados naranjas cada vez más grandes. Si sigues alejándote, los cuadrados seguirán haciéndose más grandes y se cruzarán entre sí. Esto crea una estructura jerárquica donde cada porción del mosaico tiene su lugar único. No puedes mover ni intercambiar ninguna sección sin romper las reglas y destruir la estructura. Esto nos dice que el teselado debe ser aperiódico.

Kaplan, Goodman-Strauss y Myers pudieron mostrar algo similar para la teja de Einstein en forma de sombrero propuesta por Smith. Para que fuera más fácil trabajar con el mosaico, suavizaron los bordes escarpados del sombrero en formas más reconocibles y útiles; por ejemplo, un solo mosaico de sombrero se puede aproximar con un triángulo. También utilizaron grupos de múltiples mosaicos de Einstein para crear diferentes formas. Podrían organizar cuatro fichas de sombrero en una estructura similar a un hexágono, dos fichas en un pentágono y otra combinación de dos fichas en un paralelogramo. Estas cuatro formas suavizadas, cada una de las cuales estaba formada únicamente por baldosas de Einstein, podían cubrir completamente el plano formando un patrón.

Los matemáticos demostraron que este mosaico no contenía patrones repetidos porque, al igual que el conjunto de seis mosaicos de Robinson, estas cuatro formas especiales formaban estructuras jerárquicas. Si organizas estos cuatro grupos de mosaicos de Einstein (hexágono, pentágono, paralelogramo y triángulo) juntos, inevitablemente crearán una versión más grande de una de esas mismas formas. Luego, si combinas esas formas más grandes, crearás versiones aún más grandes de esas formas, y así sucesivamente. Este proceso se puede repetir indefinidamente, dando una estructura jerárquica. Por lo tanto, el patrón general no se puede dividir en secciones que se repitan. Si simplemente deslizaras partes del patrón a otro lugar, esa estructura general se rompería.

Esta prueba requirió algunos cálculos complejos, por lo que los tres científicos solicitaron la ayuda de una computadora. Publicaron libremente su prueba asistida por computadora para que cualquiera pudiera verificarla en busca de errores.

Pero Myers aún no estaba satisfecho. Creó un nuevo método para demostrar la aperiodicidad que podría realizarse a mano, sin computadora, mostrando que el sombrero de Einstein está conectado con otros mosaicos conocidos que son más fáciles de estudiar. Estos mosaicos relacionados están hechos de formas llamadas polidiamantes, mosaicos simples formados combinando triángulos equiláteros. Myers ajustó algunos de los bordes del sombrero de Einstein para formar dos arreglos diferentes de polidiamantes que siguen el mismo patrón de mosaico del sombrero: uno con forma de galón y el otro con forma de hexágono y rombo juntos. A pesar de sus diferencias visuales, estas tres disposiciones tienen las mismas propiedades. Si los matemáticos pudieron demostrar que ambos mosaicos de polidiamantes son aperiódicos, entonces el mosaico original también debe ser aperiódico.

Afortunadamente, con las polidiamantes, esa prueba es una cuestión de matemáticas básicas. Los matemáticos pueden representar las simetrías de las disposiciones de polidiamantes con una cantidad llamada vector de traducción. Si los dos nuevos arreglos contenían patrones repetidos, la longitud de sus vectores de traducción debería haber estado relacionada entre sí; específicamente, su relación debería haber sido un número racional. Pero en cambio, los vectores tenían una proporción de la raíz cuadrada de 2 (definitivamente un número irracional), lo que demuestra que las disposiciones de los polidiamantes no eran periódicas. Por lo tanto, el sombrero original era de hecho un Einstein.

El nuevo método de prueba de Myers también podría ser útil para otras cosas, explican los científicos en su artículo. Pero por ahora, tanto los alicatadores expertos como los aficionados están emocionados de tener en sus manos la tan esperada losa de Einstein. Las posibilidades de decoración del hogar son literalmente infinitas. Como dijo a New Scientist el matemático Colin Adams del Williams College: "Lo pondría en mi baño si lo estuviera poniendo en mosaico ahora mismo".

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con autorización.

Nota del editor (2/8/23): Este artículo fue editado después de su publicación para corregir el nombre de Raphael Robinson y el año en que presentó su conjunto de seis fichas.

Manon Bischoff es físico teórico y editor de Spektrum, una publicación asociada de Scientific American. Crédito: Nick Higgins

Manon Bischoff

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